古希腊的数学高峰

     在古希腊后期，学术中心转移到埃及的亚历山大城。这时，古希腊的数学达到了高峰，古希腊数学的最后成果均是在这里总结和完成的。

     生活在亚历山大城的欧几里得 （约前330～约前275）是古希腊最享有盛名的数学家。

     古希腊著名科学哲学家亚里斯多德认为，演绎推理的价值要高于归纳推理。他这一思想形成的原因是什么呢？

     如果让我们看一看古希腊几何学的发展，就会容易理解亚里斯多德的这一看法了。事实上可以这样说，整个希腊时代理论上最成功的产物就是几何学这门演绎科学。

     我们说它成功一是指这一时期几何学理论的完备、严密与系统；二是指直到今天，我们中学里的几何教科书还都是以两千多年前的希腊几何学为蓝本的。

     而希腊几何学成功的代表者便是我们将要介绍的欧几里得。

     欧几里得生于雅典，是柏拉图的学生。他的科学活动主要是在亚历山大进行的，在这里，他建立了以他为首的数学学派。

     欧几里得，以他的主要著作 《几何原本》而著称于世，他的工作重大意义在于把前人的数学成果加以系统的整理和总结，以严密的演绎逻辑，把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系。

     欧几里得建立起来的几何学体系之严谨和完整，就连20 世纪最杰出的大科学家爱因斯坦也不能对他不另眼相看。

     爱因斯坦说： “一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。”

      《几何原本》中的数学内容也许没有多少为他所创，但是关于公理的选择，定理的排列以及一些严密的证明无疑是他的功劳，在这方面，他的工作出色无比。

     欧几里得的 《几何原本》共有13篇，首先给出的是定义和公理。比如他首先定义了点、线、面的概念。

     他整理的5 条公理其中包括：

     1.从一点到另一任意点作直线是可能的；

     2.所有的直角都相等；

     3.a=b，b=c，则a=c；

     4.若a=b 则a＋c=b＋c 等等。

     这里面还有一条公理是欧几里得自己提出的，即：整体大于部分。

     虽然这条公理不像别的公理那么一望便知，不那么容易为人接受，但这是欧氏几何中必须的，必不可少的。他能提出来，这恰恰显示了他的天才。

      《几何原本》第1～4 篇主要讲多边形和圆的基本性质，像全等多边形的定理，平行线定理，勾股弦定理等。

     第2篇讲几何代数，用几何线段来代替数，这就解决了希腊人不承认无理数的矛盾，因为有些无理数可以用作图的方法，来把它们表示出来。

     第3篇讨论圆的性质，如弦、切线、割线，圆心角等。

     第4 篇讨论圆的内接和外接图形。

     第5篇是比例论。这一篇对以后数学发展史有重大关系。第6篇讲的是相似形。其中有一个命题是：直角三角形斜边上的矩形，其面积等于两直角边上的两个与这相似的矩形面积之和。读者不妨一试。

     第7、8、9篇是数论，即讲述整数和整数之比的性质。

     第 10篇是对无理数进行分类。

     第 11～13篇讲的是立体几何。

     全部 13篇共包含有467 个命题。《几何原本》的出现说明人类在几何学方面已经达到了科学状态，在经验和直觉的基础上建立了科学的、逻辑的理论。

     欧几里得，这位亚历山大大学的数学教授，已经把大地和苍天转化为一幅由错综复杂的图形所构成的庞大图案。

     他又运用他的惊人才智，指挥灵巧的手指将这个图案拆开，分成为简单的组成部分：点、线、角、平面、立体——把一幅无边无垠的图，译成初等数学的有限语言。

     尽管欧几里得简化了他的几何学，但他坚持对几何学的原则进行透彻的研究，以便他的学生们能充分理解它。

     据说，亚历山大国王多禄米曾师从欧几里得学习几何，有一次对于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表示不耐烦。

     国王问道： “有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的途径？”

     欧几里得答道： “陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的难走的小路，一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里，大家只能走同一条路。走向学问，是没有什么皇家大道的，请陛下明白。”

     欧几里得的这番话后来推广为 “求知无坦途”，成为传诵千古的箴言。

     关于欧几里得的一生的细节，由于资料缺乏，我们知道得很少。有一个故事说的是欧几里得和妻子吵架，妻子很为恼火。

     妻子说： “收起你的乱七八糟的儿何图形，它难道为你带来了面包和牛肉。”

     欧几里得天生是个憨脾气，只是笑了笑，说道：“妇人之见，你知道吗？我现在所写的，到后世将价值连城！”

     妻子嘲笑道： “难道让我们来世再结合在一起吗？你这书呆子。”

     欧几里得刚要分辩，只见妻子拿起他写的 《几何原本》的一部分投入火炉中。欧几里得连忙来抢，可是已经来不及了。

     据说妻子烧掉的是 《几何原本》中最后最精彩的一章。但这个遗憾是无法弥补的，她烧的不仅仅是一些有用的书，她烧的是欧几里得血汗和智慧的结晶。

     如果上面这个故事是真的，那么他妻子的那场震怒可能并不是欧几里得引起来的。因为古代的作家们告诉我们，他是一个 “温和慈祥的老头。”

     由于欧几里得知识的渊博，他的学生们简直把他当作偶像来崇拜。欧几里得在教授学生时，像一个真正的父亲那样引导他们，关心他们。

     然而有时，他也用辛辣的讽刺来鞭挞学生中比较傲慢的，使他们驯服。有一个学生在学习了第一定理之后，便问道： “学习几何，究竟会有什么好处？”

     于是，欧几里得转身吩咐佣人说：“格鲁米阿，拿三个钱币给这位先生，因为他想在学习中获得实利。”

     欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风更反对狭隘的实用观念。后来者帕波斯就特别赞赏他这谦逊的品德。

     像古希腊的大多数学者一样，欧几里德对于他的科学研究的 “实际”价值是不大在乎的。他喜爱为研究而研究。

     他羞怯谦恭，与世无争，平静地生活在自己的家里。在那个到处充满勾心斗角的世界里，对于人们吵吵闹闹所作出的俗不可耐的表演，则听之任之。

     他说：“这些浮光掠影的东西终究会过去，但是，星罗棋布的天体图案，却是永恒地岿然不动。”

     欧几里得除了写作重要几何学巨著 《几何原本》外，还著有《数据》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学》、《反射光学之书》等著作。