三个流派

     到了公元前5 世纪，在古希腊成立了几个哲学派别，它们分别是智者派、毕达哥拉斯派和柏拉图派。

     在这一时期，被称为智者派的一些数学家们提出了下列三个著名的几何作图难题，即只用圆规和直尺作出以下图形：

     1.作一正方形使其面积等于一已知圆的面积；

     2.作一立方体使其体积等于一已知立方体的 2倍；

     3.三等分一任意角。

     这三大难题曾在很长的时期内吸引了许多数学家，后来才被证明这是不可能的，任何人借助任何办法都办不到的。

     虽然这三大难题是办不到的，但是数学家们在积极求证的过程中，却产生了许多有价值的副产品。

     如智者派中的重要人物希匹阿斯在试图三等分一任意角时，发明了割圆曲线，如能作出这条曲线，即可三等分一任意锐角，但是割圆曲线也是不能用直尺和圆规作出的。

     这时的毕达哥拉斯派的希波克拉底致力于化圆为方的问题时，得出了求以两不等径圆弧为边的月牙形面积的方法。

     而智者派的安提丰在研究画圆的问题时，提出可以把圆看成是无穷多边的正多边形。毕达哥拉斯派的布莱生则以圆外接正多边形来思考同一问题。此即穷竭法的开端。

     另外一学派柏拉图派的数学家们，他们研究数学不是为了实用目的，而在于寻求一种思维中的完善和美，因此，他们特别注意数学的证明方法。

     有记载说，他们研究过数学中的分析法、归谬法这样一些基本的推理方法，由于他们的工作，数学的推理方法更加严密了。

     柏拉图派把这些工作推进到什么程度，有哪些具体成果，我们现在不得而知。但是我们确实看到，自柏拉图以后，古希腊的数学更加理论化了。

     我们当然不能想象古希腊发达的生产技术没有相当的实用数学知识，但数学作为一门学科，确实与实际生活的距离加大了。古希腊的实验科学、物理学等在相当长的时期内没有得到相应的发展，与数学脱离实际这种状况看来也不无关系。

     柏拉图派的科学家欧多克索不仅在天文学上有重要的贡献，他还是古希腊最有成就的数学家之一。

     人们发现了无理数后，但又产生了一大困难，就是无理数 2的不可公度，由于更多的无理数的发现，促使人们不得不认真地去研究它。

     无理数究竟是不是数？原先用先可公度量的那些几何学的证明能否用于这些不可公度量？一个一个可数的数目是不连续的，而量则是连续的，这些都是矛盾。

     欧多克索面对这些难题，他走出自己的一条路子。他定义了两个量之比和两个量之比相等的关系，即比例关系，以此来解决量之间的问题。

     这样，从毕达哥拉斯开始的几何和数的简单而直接的关系就被分开了，量并不就是可数的数目，上述困难便迎刃而解。

     从此，古希腊数学更加偏向于几何学。因为在他们看来，似乎几何学是能处理一切问题的，包括无理数这样的问题在内。对几何学的偏爱却抑制了古希腊代数学的发展，后来在他们那里，有关代数学的问题实际上都用几何学的方法来处理，这不能就被认为是很好的方式。

     欧多克索的另一项重要贡献，是他继续了智者派安提丰等人的工作，完成了计算曲边形面积和曲面体体积的方法。

     这项工作的重要意义不只在于计算那些难以计算的量，更在于推进了穷竭法的研究。虽然那时还没有清晰的极限的思想，穷竭法已经预示着微积分学的思想正在萌芽。

     欧多克索的学生美尼克谟的最重要成就是发现了圆锥曲线。他在这方面的工作可能也是试图解决智者派提出的三大作图难题，而产生的副产品。

     美尼克谟选取了顶角分别为直角、锐角和钝角三种圆锥，分别以一垂直于锥面一条母线的平面与之相割，这样就得到了抛物线、椭圆和双曲线。

     圆锥曲线的发现，对于几何学以及天文学、物理学等类科学的发展都十分重要。不过，他的工作还只是一个开端。