最大素数记录近日被刷新

根据美国数学会消息，日前通过最大梅森素数互联网搜索计划(Great Internet Mersenne Prime Search－GIMPS)，发现最大的素数230,402,457 – 1，该素数有9百多万位，它还是第43个梅森素数(即可以表示成2p – 1的素数)。该项发现是由中密苏里大学数学系教授Curtis Cooper和艺术与科学院副院长Steven Boone领导的一支研究小组完成的。

形如Mp=2p－1（其中p为素数）的数被称为梅森数。为使Mp为素数，P为素数是必要条件，但不是充分条件。如果Mp为素数，则称之为梅森素数。1644年，梅森在一本著作（《物理一数学探索》）的序言中提出，当P＝2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2p－1是素数，对于257以内的其他素数p，2p－1都不是素数，但在当时，人们只知道p＝31以前的7个梅森素数的证明（素性证明）。1772年，欧拉才证明M31是素数。M67和M257不是素数，1903年科尔指出 M67＝267一1＝193707721×761838257287。

梅森指出的数中，M61， M89， M167也是素数。人们发现，这种数有些很有趣的性质，例如每个形如－1的素数对应一个偶完全数等等，于是人们开始有意识地寻找这种素数，为了纪念提出者把它们命名为梅森素数，一般的－1形数命名为梅森数。

直到19世纪上半叶，人们仍然只证明了梅森提出的前8个梅森素数。19世纪后半叶，E．拉库斯提出了一个判断MP是否为素数的方法,用此法，人们又证明了M61，M89， M107， M127为素数。

在电子计算机投入应用之前，人们就证明出上述由从M2到M127这12个梅森素数，从上面举的M67的分解式可以看到P值增大时，MP将迅速增大，使判断计算出现困难。1930年，D．H．莱默尔改进了拉库斯的方法，提出如下判别法则：设p为一奇素数，定义序列

L0＝4，

…… ，

Ln+1＝(Ln2－2)2p－1(n≥0)

则2p一1是素数的充要条件是Lp-2＝0。电子计算机出现后，人们利用这一准则，使寻找梅森素数的工作又进行下去。实际上寻找大素数的工作就是寻找梅森素数，因为2p－1这一可构造性的数无疑缩小了寻找的范围，现在所知道的大素数多是梅森素数，这也是研究梅森素数的意义之一。关于梅森素数，有下述两个著名猜想：有无穷多个p使为素数；Mp无平方因数。现都未得到证明，后者的一个结果是L．J．沃伦于1967年证明的：若素数q满足q2 Mp，则2q-1≡1（mod q2）。梅森数在代数编码理论中亦有应用。